Salut,





En fait, il faudrait plutôt chercher la réponse du côté des mathématiques :

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier#Espaces_de_Hilbert



Pour faire simple, on peut montrer que l'ensemble des fonctions (signaux) T-périodiques forment un espace vectoriel :

- les familles { cos(i*2*pi/T) ; sin(i*2*pi/T) } avec i dans N forment une base de vecteurs de cet espace vectoriel,

- l'intégrale qui permet de calculer les coefficients de chaque cos(.) sin(.) est un produit scalaire.



En clair, les coefficients de la série de Fourier sont les coordonnées de la fonction T-périodique dans la base des { cos(i*2*pi/T) ; sin(i*2*pi/T) }.





Dans le cas de signaux non périodiques (pseudo-périodiques, généralement), on travaille sur des "petites fenêtres temporelles" où l'on considère que le signal est quasi-stationnaire : c'est une approximation qui revient à dire que les variations des paramètres du signal sont négligeables sur la fenêtre d'analyse.

La décomposition obtenue n'est valable que sur cette fenêtre et il faut en calculer une nouvelle pour chaque fenêtre.



C'est ce qui est fait avec une analyse du type "spectrogramme" : http://fr.wikipedia.org/wiki/Spectrogramme

- le signal en entrée est découpé en trames assez courtes (c'est un paramètre à ajuster),

- décomposition de Fourier, ou plutôt, estimation du périodogramme (avec une FFT) de chaque trame où le signal est considéré pseudo-stationnaire,

- formation d'une image où les colonnes représentent le spectre de chaque trame : les fréquences sont disposées suivent les lignes, les trames sont disposées suivant les colonnes, le niveau du pixel correspond à l'amplitude (où la puissance) du signal à la fréquence et à la trame considérée.



Un format d'encodage audio comme le mp3, par exemple, débute par une analyse similiaire :

- découpage du signal audio en trames de 20 ms.

- décomposition en série de Fourier de chaque trame où le signal est considéré quasi-stationnaire.

- reconstruction des "trajectoires" des fréquences / amplitudes entre les trames (en supposant que d'une trame à une autre les paramètres "bougent" peu.





Ce découpage en fenêtres temporelles pose un problème non négligeable : la résolution en fréquence dépend de la durée de la fenêtre. En fait, tu retrouves le principe d'incertitude d'Heisenberg, comme en mécanique quantique : Δf.Δt > Cste, ou Δf > Cste / Δt



Si la fenêtre temporelle est très étroite (Δt petit), les "pics" de fréquence seront étalés (Δf grand, au lieu de trouver une raie dans le spectre tu auras un sinus cardinal) : 2 pics proches formeront un seul gros pic.

Tu peux essayer de limiter cet effet en utilisant des fenêtrages particuliers (fenêtres de hamming, etc.) mais tu ne pourras que "tangenter" la limite théorique.



Pour le mp3, par exemple, ça peut suffire (il y a une étape de "masquage des fréquences" selon des modèles psycho-acoustique qui, de toute façon, supprime des raies trop proches que l'oreille humaine ne pourrait pas discerner).

Cependant, sur des signaux variant trop rapidement (l'attaque d'un instrument, une percussion, etc.) ce n'est pas toujours adéquat.

Des bases de décompositions alternatives comme les "ondelettes" sont parfois utilisées, avec de bons résultats (en gros, on utilise un nouvel espace vectoriel qui colle mieux avec les signaux pseudo-périodiques mais l'approche mathématique reste la même).





Dans le cas où la résolution est critique (en imagerie médicale, par exemple), il faut employer des techniques plus avancées en exploitant des connaissances a priori sur le signal analysé.

C'est le cas des techniques "paramétriques", par exemple :

- On "sait" que le signal est une somme de N sinusoïdes liées par une relation d'harmonicité.

- On réalise un ajustement entre le modèle paramétrique et le signal suivant un critère des moindres-carrés (je simplifie l'approche ; en réalité il y a des étapes supplémentaires, mais ça te donne l'idée



Ces techniques sont appelées les analyses "hautes résolutions" parce qu'elles permettent de "descendre en dessous" de la limite théorique (entre guillemets, car en réalité c'est la connaissance a priori qui permet d'approcher au mieux les paramètres : si le signal ne correspond pas au modèle utilisé, le résultat obtenu n'a aucun sens et ne correspondra pas du tout au spectre réel du signal).

Bonjour,



Pour commencer, on dit harmoniQUES et non harmonies.

La théorie de Fourrier consiste à décomposer n'importe quel signal périodique comme la somme de plusieurs signaux périodiques SINUSOÏDAUX. Pourquoi le signal sinusoïdal, parce que c'est un signal simple.



D'ou viennent les harmoniques? Du signal, tout simplement. SI le signal est sinusoïdal, il n'y aura qu'un seul harmonique, le fondamental. Tout les autres signaux ont une infinité d'harmoniques mais ce qui change c'est l'amplitude de chaque harmonique, et les fréquences de ces harmoniques, en fonction du signal.

Par exemple un signal carré présente un harmonique pour toute les fréquences impaires multiples de la fréquence fondamentale, et leur amplitude décroit rapidement.



Leur signification physique? On peut dire que le nombre d'harmoniques et leurs amplitudes caractérise la complexité du signal.

En acoustique par exemple, différents instruments vont jouer la même note, donc la même fréquence, mais en fonction de l'instrument, le timbre (c'est à dire le nombre d'harmonique et leur amplitudes) va changer ce qui aura comme effet de modifier la sensation sonore.



Pour un signal non périodique, le spectre est calculé en considérant que le signal est périodique, car les séries de Fourrier ne s'applique qu'aux signaux périodiques. Sinon, on en vient à la Transformé de Fourrier

Qu’est ce qu’il a démontré Fourrier ?



Un signal NON sinusoïdal mais PERIODIQUE peut se décomposer en une somme de plusieurs signaux SINUSOÏDAUX périodiques.



Appliquée à l’électricité, cette loi physique indique qu’un courant électrique périodique mais non sinusoïdal et la somme des plusieurs courant sinusoïdaux et périodiques.

Le signal original non sinusoïdal est périodique, et cette période correspond à une fréquence de 50 Hz. C’est ce signal que l’on appelle le fondamental. Les autres signaux périodiques, de fréquences multiplies de 50 Hz s’appellent les harmoniques. Ainsi, l’harmonique de rang 2 à une fréquence de 2 x 50 Hz, soit 100 Hz, l’harmonique de rang 3 à une fréquence de 3 x 50 Hz, soit 150 Hz, etc…



La tension est celle du secteur, considérée comme étant sinusoïdale à une fréquence de 50 Hz. Quand on applique une tension périodique et sinusoïdale sur un récepteur non linéaire, le courant est périodique mais non sinusoïdal. Vous avez alors le fondamental à 50 Hz, plus une multitude de signaux de fréquence 100 Hz, 150 Hz, 200 Hz etc… et chaque signaux possède une valeur efficace, qui se calcule en divisant la valeur maximale (valeur crête) par √2.



Ainsi, quand vous alimentez un variateur de vitesse avec une tension de 50 Hz parfaitement sinusoïdale, vous aurez un courant fondamental sinusoïdal à 50 Hz + un courant harmonique sinusoïdal à 100 Hz de valeur efficace a % du fondamental, + un courant harmonique sinusoïdal à 150 Hz de valeur efficace b % du fondamental, + un courant harmonique sinusoïdal à 200 Hz de valeur efficace c % du fondamental, + un courant harmonique sinusoïdal à 250 Hz de valeur efficace d % du fondamental, etc…



Chaque harmonique possède une valeur efficace, qui vient s’ajouter à la valeur efficace du fondamental, et cela crée un échauffement supplémentaire dans les conducteurs. C’est pour cette raison, par exemple, qu’ERDF impose, dans son réseau de distribution 20 kV, un taux de courant harmonique inférieur à 8 %.



Supposons que votre courant périodique, non sinusoïdal se décompose en un courant de 10 A à 50 Hz + un courant de 2 A à 100 Hz + un courant de 1 A à 150 Hz + un courant de 0,5 A à 200 Hz.



10 A (à 50 Hz), par rapport au fondamental de 10 A, cela fait : 10/10 = 100 % = 1



2A (à 100 Hz), par rapport au fondamental de 10 A, cela fait : 2/10 = 20 % = 0,2



1A (à 150 Hz), par rapport au fondamental de 10 A, cela fait : 1/10 = 10 % = 0,1



0,5 (à 200 Hz), par rapport au fondamental de 10 A, cela fait : 0,5/10 = 5 % = 0,05





…. et bien, la valeur efficace supportée par le conducteur sera :



= √(1² + 0,2² + 0,1² + 0,05²) = 1,026 = 1 + 0,026 = (100 %) + (2,6 %)



C’est ce que l’on appelle la somme quadratique. Les anglo-saxons l’appellent RMS (Root Mean square).



Vous constatez alors que vous avez, non pas 100 %, mais 2,6 % en plus. C’est ce que l’on appelle le taux d’harmonique.



Ensuite, ces courants harmoniques vont traverser le réseau d’ERDF. Ce réseau a une impédance. Les courants harmoniques qui traversent cette impédance, vont générer des tensions harmoniques, et vous aurez à votre point de livraison une tension égale à la tension d’ERDF (sinusoïdale à 50 Hz), moins toutes les chutes de tensions harmoniques dues aux courants harmoniques qui traversent l’impédance du réseau. Vous comparez alors la tension réelle par rapport à la tension à 50 Hz. Cette différence, comparée à la valeur à 50 Hz s’appelle le taux de distorsion en tension.



Voilà, c’est un peu grossier, mais c’est bien la réalité. C’est pour cela, que quand il y a des harmoniques, on met des filtres anti-harmoniques. Ces filtres, passifs ou actifs, sont capables de générer des courants harmoniques, vectoriellement opposés aux courants harmoniques générés par les récepteurs non linéaires, comme les variateurs, les onduleurs, les redresseurs, l’éclairage etc…