Salut,
Pour commencer, la distinction entre les 2 centres n'est possible que si l'objet considéré n'est pas ponctuel.
J'imagine que tu sais ce qu'est un barycentre mais il te manque un autre outil mathématique pour comprendre ce qui est fait pour un volume quelconque : le calcul intégral (que tu verras en Terminale).
Je vais alors prendre un exemple simple ou l'objet et composé de 2 petites billes écartées reliées entre-elles par une barre de masse négligeable, une sorte d'haltère.
La masse totale de cet objet et égale à la somme des masses des 2 billes.
m1 et m2 désignent les masses des 2 billes. La masse totale est m = m1 + m2.
OP1 et OP2 sont deux vecteurs qui donnent les positions des 2 billes (par rapport à un point O ; P1 et P2 sont les points où se situent les 2 billes).
Le centre d'inertie (ou centre de masse) de l'objet est le barycentre des positions des 2 billes pondérées par leurs masses respectives.
En notant I le centre d'inertie, tu peux calculer le vecteur OI avec la formule des barycentres :
OI = m1 * OP1 + m2 * OP2.
Tu vois alors, par exemple, que si m1 > m2 alors le centre d'inertie I sera plus proche de P1.
Si m1 = m2, alors I se situe au milieu du segment [P1,P2].
S'il y avait une troisième bille dans l'objet, il suffirait de l'ajouter au calcul du barycentre :
OI = m1 * OP1 + m2 * OP2 + m3 * OP3
C'est à cause de cette pondération par les masses que l'on appelle aussi le centre d'inertie le centre de masse.
Pour le centre de gravité, on utilise toujours les barycentres mais la pondération est différente : le centre de gravité est le barycentre des positions des 2 billes pondérées par la FORCE gravitationnelle (la force "poids" et non plus la masse).
Si les billes sont soumises à des forces F1 et F2, alors le centre de gravité G est :
OG = F1 * OP1 + F2 * OP2.
Dans la pratique, on confond souvent le centre de masse avec le centre de gravité parce que l'on fait une hypothèse supplémentaire : le champ de gravité / pesanteur est considéré constant (=g) quelque soit l'endroit où les billes se trouvent. Je te montre pourquoi.
Avec cette hypothèse supplémentaire, tu obtiens :
F1 ≈ m1*g
F2 ≈ m2*g
OG = F1 * OP1 + F2 * OP2 ≈ m1*g * OP1 + m2*g * OP2
Et comme tu dois le savoir avec les barycentres, on peut diviser chaque coefficient de pondération par une même valeur sans modifier la position du barycentre ; ici je vais diviser par "g" :
OG ≈ m1*g * OP1 + m2*g * OP2 = m1 * OP1 + m2 * OP2 = OI
Quand le champ de gravité est uniforme dans l'espace, alors le centre de gravité et le centre d'inertie sont confondus.
Cependant dans le cas général, il y a bien un différence entre les deux centres.
Tu dois être au courant : la Terre est ronde et le champ de gravité est en réalité orienté vers le centre de la Terre (F1 et F2 ne sont pas parallèles). De plus, si tu t'éloignes de la Terre la gravité est de moins en moins forte.
L'hypothèse qui consiste à dire que le champ de pesanteur est constant n'est vérifiée que si l'objet est petit devant les dimensions de la Terre (et c'est souvent le cas :p).
Mais à une échelle plus grande ceci n'est plus vérifié. Tu ne pourras donc plus dire que :
OG ≈ m1*g * OP1 + m2*g * OP2
Il n'est plus possible de diviser les 2 coefficients de pondération par "g" et tu trouveras des positions différentes pour les centres de gravité et d'inertie.
J'espère que tu vois alors la différence : le centre d'inertie est le barycentre des masses, le centre de gravité est le barycentre des forces de gravité.
- s'il n'y a pas de champ de gravité, le centre de gravité n'est même pas défini.
- si le champ de gravité n'est pas uniforme, le centre de gravité et le centre d'inertie ne sont pas au mêmes endroits.
- si l'objet se déplace dans un champ de gravité qui n'est pas uniforme, la position de son centre de gravité évoluera.